Berhitung Cepat

Judul Asli: Manfaat Rumus Berhitung Cepat Matematika

Saya senang mengoleksi berbagai macam teknik berhitung cepat – aritmetika cepat. Beberapa rumus cepat ini saya peroleh dari guru-guru matematika saya. Sebagian yang lain saya peroleh dari membaca literatur. Bagian terpenting dari rumus cepat ini saya peroleh sendiri melalui ketekunan meneliti.
Sempoa (abacus) adalah salah satu teknik berhitung cepat yang sangat mengagumkan. Selesai soal dibacakan, selesai juga proses perhitungan. Kita tinggal membaca hasil perhitungan tersebut pada sempoa. Bila sudah mahir mental aritmetika, kita tinggal membaca jawaban tersebut pada mental imajinasi kita.
Kumon adalah pendekatan yang berbeda. Kumon merupakan pendekatan pembelajaran cepat matematika. Tetapi isi matematikanya sendiri mirip dengan konsep matematika yang kita kenal selama ini. Metode Kumon mengandalkan pada pengulangan dan kemahiran. Dengan cara ini, (anak-anak) kita menjadi lebih mudah belajar matematika.
Jarimatika menampilkan beberapa variasi menarik dari teknik sempoa. Jarimatika mengelaborasi 10 jari kita untuk menggantikan peran sempoa. Terdapat beberapa trik khusus yang menarik memanfaatkan jari-jari kita.
Sakamoto, saya kenal pada awalnya sebagai pendekatan geometri kepada berbagai konsep matematika. Dengan pendekatan geometri, matematika menjadi lebih tervisualisasikan. Bukankah satu gambar bermakna seribu kata?
APIQ saya dirikan untuk memanfaatkan berbagai keunggulan teknik berhitung cepat. Dari sempoa kami belajar betapa petingya alat peraga fisik. APIQ memfasilitasi siswa dengan berbagai macam mainan fisik matematika seperti Onde Milenium, Kartu Milenium, Super Marble, dan lain-lain. Tentu saja setelah asyik bermain secara fisik, anak-anak akan menyerap konsep matematikanya secara mental.
Dari Kumon kami belajar betapa pentingnya pendekatan bertahap dalam matematika. APIQ memfasilitasi siswa dengan pendekatan bertahap mulai dari anak mengenal angka (bilangan) sampai menguasai kalkulus. Program ini menjadi perkerjaan besar bagi kami di APIQ.
Jarimatika di luar dugaan kami. Kami telah mengajarkan konsep jarimatika sebelum kami mendengar tentang lembaga Jarimatika. Jarimatika memberi pelajaran pada kami bahwa yang sederhana dapat menjadi sesuatu yang sangat menarik. APIQ memperkaya diri dengan berbagai trik menggunakan jari.
Visualisasi geometri lebih kita tekankan lagi setelah mengenal Sakamoto. Tetapi APIQ melangkah lebih jauh dari sekedar visualisasi. APIQ mengembangkan mainan alat peraga khusus untuk berbagai konsep matematika penting. Untuk pecahan, APIQ mengembangkan mainan lingkaran milenium. Untuk luas, keliling, volume APIQ mengembangkan dadu milenium.
Kami mempercayai:
Gambar bermakna seribu kata
Peraga bermakna seribu gambar
Saya sempat agak ragu-ragu. Mengapa repot-repot belajar berhitung cepat? Bukankah sudah ada kalkulator? Bukankah sudah ada komputer?
Berhitung cepat bukan berarti tidak boleh menggunakan kalkulator. Pun bukan berarti tidak boleh memanfaatkan komputer. Orang yang ahli menggunakan kalkulator dan komputer juga tidak dilarang belajar berhitung cepat. Jadi, kita tidak perlu mempertentangkan berhitung cepat dengan mesin hitung cepat.
Banyak manfaat dari belajar berhitung cepat. Salah satu manfaat terpenting adalah menjadi lebih kreatif. Orang yang memiliki banyak koleksi teknik berhitung cepat akan selalu terbuka pada ide-ide kreatif baru. Tokoh-tokoh besar dunia banyak yang menggemari permainan berhitung cepat.
Gauss, tokoh besar matematika, terkenal sebagai orang yang mengatakan:
”Mathematic is queen of science. And queen of mathematic is arithmetic.”
“Matematika adalah ratu ilmu pengetahuan. Dan ratu matematika adalah aritmetika.”
Anda yang pernah mempelajari matematika perguruan tinggi pasti mengenal Gauss. Apalagi Anda yang belajar di teknik elektro atau fisika pasti banyak mempelajari teori Gauss. Khususnya ketika mempelajari teori medan.
Gauss terkenal sebagai kalkulator berjalan – mesin hitung berjalan. Ia dapat melakukan perhitungan cepat hanya dalam kepala. Tanpa alat bantu apa pun. Gauss mengejutkan orang-orang di sekitarnya, bahkan gurunya, ketika menyelesaikan sebuah perhitungan hanya beberapa detik. Sementara orang-orang pada umumnya membutuhkan waktu lebih dari setengah jam.
Richard Feynman adalah peraih nobel fisika yang menggemaskan. Feynman memiliki hobi terus memainkan angka-angka. Ia dikenal juga sebagai kalkulator berjalan. Bahkan ia bisa menghitung nila log 2 sampai ketelitian 7 digit di belakang koma hanya dalam beberapa detik. Ketika ditanya oleh orang-orang bagaimana cara melakukannya, Feynman menjawab, ”Saya telah menghafalnya semalam.” Itulah gaya Feynman.
Berikut ini contoh perhitungan yang disukai Feynman. Saya mengenal sebelumnya dari Trachtenberg. Dan saya sudah melakukan berbagai visualisasi dengan teknik perkalian bintang di APIQ.
54² = 2916
55² = 3025
56² = 3136
57² = … … …
58² = … … …
Cobalah mengisi titik-titik di atas degan menebaknya. Anda pasti bisa langsung menebaknya. Berhasil? Coba lagi yang ini:
59² = … … …
51² = 2601
52² = … … …
53² = … … …
Tentu kita dapat menghitungnya dengan cara seperti biasa. Kita juga dapat menyelesaikannya dengan kalkulator. Tetapi apa kreatifnya? Apa asyiknya? Ini lah cara asyiknya!
54² = 2916
29 kita peroleh dari 25 + 4
16 kita peroleh dari 4²
56² = 3136
31 kita peroleh dari 25 + 6
36 kita peroleh dari 6²
57² = 3249
32 kita peroleh dari 25 + 7
49 kita peroleh dari 7²
Bagi Anda yang akan menempuh UN, SPMB, dan UMPTN 2008, teknik berhitung cepat juga dapat membantu Anda. Anda juga dapat mengembangkan teknik berhitung cepat sendiri sesuai kebutuhan Anda. Tadinya saya akan menulis teknik berhitung cepat limit dengan teorema L’Hospital. Tapi saya khawatir akan menjadi terlalu panjang. Mohon doanya agar saya dapat menulis teorema L’Hospital pada kesempatan berikutnya.
Cobalah bermain-main dengan teknik berhitung cepat!
Rasakan asyiknya!
Jaga tetap open mind!

Rumus Cepat Pythagoras

Judul Asli: “Segitiga Pythagoras Makin Menakjubkan: Genap”
Beberapa hari lalu saya nonton tayangan “Flash of Genius”. Kisah nyata yang inspiratif.
Seorang profesor menyatakan bahwa Dr Kearns tidak menemukan hal baru apa pun. Karena resistor telah lama ditemukan sebelum Kearns. Capacitor, transistor, dan komponen lainnya telah lama ditemukan sebelum masa Kearns. Yang dilakukan Kearns hanyalah merangkainya dengan pola yang baru. Itu saja.
Perdebatan berlanjut… dan Kearns akhirnya menang. Penemuan terhebat, penemuan jenius dari Dr Kearns adalah penemuan pola baru dalam merangkai komponen yang ada tersebut.
Kearns memenangkan 10 juta dolar dan bertambah lagi sampai hampir 30 juta dolar.
Menemukan pola, mengenali pola, menciptakan pola adalah penemuan yang sangat penting.
Paman APIQ berulang-ulang menekankan cara paling mudah menjadi kreatif adalah dengan mengenali pola.
Beberapa waktu lalu, Paman APIQ telah berbagi pengenalan pola segitiga Pythagoras ganjil. Kali ini Paman APIQ mengajak kita berpetualang mengenali pola segitiga Pythagoras genap.
Tentu kita masih ingat, dalam segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras:
a^2 + b^2 = c^2
a = 4, b = 3, c = … = 5
a = 6, b = 8, c = … = 10
a = 8, b = 15, c =… = 17
Dapatkan Anda menemukan polanya?
Pola a mungkin tampak dengan jelas.
Bagaimana menemukan pola hubungan b dan c?
Mari kita coba lagi…
a = 10, b = 24, c = …. = 26
a = 12, b = 35, c = …. = 37
a = 14, b = 48, c = ….
a = 16, b = 63, c = ….
Selamat berpetualang dengan pola-pola…

Dari Kerajaan Aritmetika Menuju Kerajaan Aljabar

Matematika memiliki 3 kerajaan yang berbeda: aritmetika, geometri, dan aljabar. Mencampuradukkan tiga kerajaan itu dapat berakibat rumit bagi pendidikan dan pembelajaran matematika.
Paman APIQ sendiri, dari awal, menekankan pentingnya penguasaan aritmetika bagi anak-anak sejak usia dini. Sayangnya sering terjadi ketika anak-anak berpetualang di kerajaan aritmetika mereka menemukan masalah-masalah dari kerajaan aljabar.
Demikian juga ketika anak-anak asyik bermain geometri mereka juga sering dihadapkan kepada persoalan aljabar. Masalahnya, para guru dan penyusun materi sendiri kadang-kadang tidak mudah membedakan mana masalah aljabar dan mana masalah aritmetika.
Karena itu Paman APIQ mengusulkan agar kita membuat jembatan yang menghubungkan kerajaan aritmetika dengan kerajaan aljabar. Begitu juga kita perlu membangun jembatan yang menyatukan geometri dan aljabar. Sedangkan jembatan antara kerajaan aritmetika dan kerajaan geometri telah lama terbangun dengan baik.
2 + 3 = ….
2a + 3a = ….
4 + 5 = ….
4b + 5b = ….
4.4 = ….
a.a = ….
5.5 = ….
b.b = ….
(3.2)(5.2) = …
3a.5a = …
Dan masih banyak bata dan semen yang kita perlukan untuk membangun jembatan yang indah antara kerajaan aljabar, geometri, dan aritmetika.

Jembatan Penghubung Kerajaan Aritmetika dan Kerajaan Aljabar adalah Bilangan Pecahan

Lagi-lagi Paman APIQ memperoleh banyak keuntungan dengan bermain bersama anak-anak seperti Al, Geo, Meti. Paman APIQ memang sengaja hendak membangun jembatan penghubung antara kerajaan aritmetika dan kerajaan aljabar. Membangun jembatan bukanlah tugas yang mudah. Tidak cukup hanya berasumsi saja. Paman APIQ harus praktik langsung di lapangan.
Paman APIQ telah menyiapkan beragam hipotesa untuk membangun jembatan Almeti (singkatan dari aljabar dan aritmetika) ini. Tetapi di luar dugaan, bahwa bahan utama untuk membangun jembatan Almeti adalah bilangan pecahan bukan bahan-bahan lain.
Memang anak-anak seperti Algeometi sudah terbiasa dengan matematika atau berhitung. Algeometi sudah akrab dengan berbagai macam bentuk aritmetika. Bahkan mereka telah terbiasa berpikir kreatif ketika berpetualang di bidang matematika.
Paman APIQ mencoba memunculkan tantangan-tantangan aljabar seperti ini,
x + y = 7
2x + y = 10
Tentukan x dan y.
Bagi Algeometi, yang masih usia anak-anak SD, ternyata tantangan di atas adalah tantangan mudah. Mereka menyelesaikannya dengan cara coba-coba berhitung aritmetika.
Tentu saja Paman APIQ bangga dengan anak-anak SD yang sudah mampu menyelesaikan persamaan aljabar dengan 2 variabel. Tetapi setelah semakin banyak berlatih Paman APIQ baru menyadari satu hal, ” Anak-anak menyelesaikan sistem persamaan aljabar dengan pendekatan aritmetika. Itu adalah baik. Bagaimana caranya agar anak-anak dapat menyelesaikan persamaan aljabar dengan pendekatan aljabar?”
Setiap Paman APIQ memberi tantangan berupa persamaan aljabar maka Algeometi menyelesaikannya dengan riang gembira secara aritmetika.
Akhirnya, Paman APIQ menemukan,
x + y = 8
x – y = 1
Tentukan x dan y.
Karena solusi dengan cara aritmetika banyak memerlukan waktu maka Algeometi meminta diajarin cara yang lain. Tibalah saat yang tepat bagi Paman APIQ mengenalkan metode aljabar: eliminasi dan substitusi. Paman APIQ banyak berterima kasih kepada bilangan pecahan yang telah bersedia menjadi jembatan Almeti.
Tantangan berikut bahkan lebih menarik lagi.
x + y = 4
x – y = 1
Berapakah
?

Berhitung Cepat dengan Aljabar dan Aritmetika Kreatif

Paman APIQ sering mengingatkan agar kita terbuka dengan berbagai macam sudut pandang. Ragam prespektif ini membantu kita untuk lebih kreatif. Misalnya ketika belajar aljabar kita harus terbuka dengan ide-ide geometri dan aritmetika. Begitu pula sebaliknya. Berikut ini adalah sebuah contoh masalah, yang menurut Paman APIQ, sering dipandang sebaga aljabar. Tetapi sudut pandang aritmetika akan memberi banyak kemudahan.
Al mengendarai mobil dari Bandung menuju Cirebon dengan kecepatan tetap 40 km/jam. Pulangnya, dari Cirebon ke Bandung, Geo mengendarai mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan pulang pergi di atas?
(Untuk sementara, di sini, kita menganggap kecepatan = laju semua dianggap besaran skalar seperti penggunaan sehari-hari).
Tebakan kita secara sekilas memberi jawaban kecepatan rata-rata = 50 km/jam. Apakah benar? Tetapi masuk akal juga.
Alternatif soal berikut menjadi lebih sederhana:
Al mengendarai mobil dengan kecepatan tetap 40 km/jam selama 22/7 jam. Kemudian dilanjutkan oleh Meti dengan kecepatan tetap 60 km/jam selama 22/7 jam. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan di atas?
Jawaban yang tepat kecepatan rata-rata = 50 km/jam.
[40(22/7) + 60(22/7)] : [2 (22/7)] = 50.
Agar lebih mudah kita dapat mengabaikan bilangan 22/7.
Mari kembali ke soal semula….
Al mengendarai mobil dari Bandung menuju Cirebon dengan kecepatan tetap 40 km/jam. Pulangnya, dari Cirebon ke Bandung, Geo mengendarai mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan pulang pergi di atas?
Jawaban:
Cara Aljabar:
Kita akan mengasumsikan jarak Bandung Cirebon = J
Waktu berangkat = B = J/40
Waktu pulang = P = J/60
Maka kecepatan rata-rata = total jarak / total waktu
= (J + J)/(J/40 + J/60)
Dengan ketelitian kita akan memperoleh hasil perhitungan di atas.
Cara Aritmetika:
Anggap saja jarak Bandung Cirebon = 120 km. Maka:
Waktu berangkat = B = 120/40 = 3
Waktu pulang = P = 120/60 = 2
Kecepatan rata-rata = total jarak/total waktu
= (120 + 120)/(3 + 2) = 48 km/jam. (Selesai).

Menjadikan Anak Jago Matematika dari Aritmetika, Geometri, dan Aljabar

Pendekatan Paman APIQ melalui permainan matematika yang mengasah kecerdasan aritmetika anak-anak semakin berhasil. Algeometi dan anak-anak lain menjadi jago matematika. Mereka menemukan cara-cara kreatif yang asyik untuk mempelajari matematika.
Bagaimana dengan Anda?
Tantangan masih berlanjut. Ketika anak-anak terbiasa berpikir secara aritmetika tidak secara otomatis mereka terbiasa berpikir secara aljabar. Untungnya, berpikir geometri tampak lebih alamiah bagi anak-anak. Menghitung luas, keliling, dan volume menjadi tantangan yang menggelitik bagi anak-anak. Sedangan untuk berlatih aljabar memang perlu proses lanjutan.
Paman APIQ mencoba memilihkan tantangan aljabar yang masih berhubungan dengan aritmetika dan geometri.
Contoh soal:
Di dalam segitiga siku-siku yang panjang sisi tegak dan datar berturut-turut 3 dan 4 dibuat lingkaran yang menyinggung tiga sisi segitiga dengan jari-jari r. Tentukan panjang r.
Jawab:
Dengan mengamati gambar geometri dan perbandingan ukuran, Algeometi menebak r = 1. Tebakan yang bagus!
Paman APIQ mencoba mengenal langkah-langkah aljabar. Dengan mengamati gambar geometri kita dapat melihat segitiga-segitiga kongruen dan berlaku,
(3 – r) + (4 – r) = 5
7 – 2r = 5
2 = 2r
r = 1 (Selesai).
Contoh soal:
Di dalam segitiga siku-siku yang panjang sisi tegak dan datar berturut-turut 10 dan 24 dibuat lingkaran yang menyinggung tiga sisi segitiga dengan jari-jari r. Tentukan panjang r.
Jawab:
(10 – r) + (24 – r) = 26
34 – 2r = 26
34 – 26 = 2r
r = 4 (Selesai).
Contoh soal:
Di dalam segitiga siku-siku yang panjang sisi tegak dan datar berturut-turut 7 dan 24 dibuat lingkaran yang menyinggung tiga sisi segitiga dengan jari-jari r. Tentukan panjang r.

Mencerdaskan dengan Aritmetika dan Aljabar Matematika

Aljabar memang luar biasa menjadikan matematika sangat hebat. Tetapi pengajaran aljabar justru sering menjadikan anak-anak bingung terhadap matematika. Masyarakat secara umum pun melihat matematika bukanlah aljabar. Masyarakat lebih melihat matematika sebagai aritmetika.
Paman APIQ menemukan cara yang asyik untuk mengajarkan aljabar mau pun aritmetika. Dengan cara asyik APIQ maka anak Anda akan jago aritmetika mau pun aljabar dengan cara yang menyenang. Cara ini didasarkan pada pemahaman intuitif siswa kita.
Pertama kenalkan ke anak kita konsep berhitung aritmetika. Pastikan anak kita memahami berhitung secara intuitif – masuk akal bagi anak kita. Setelah anak kita memahaminya maka kita boleh mengajarkan cara cepat untuk menghafal aritmetika dasar. Pemahaman adalah yang paling dasar. Cobalah…pasti anak Anda akan menjadi mahir matematika.
Paham dan cepat aritmetika sudah menjadi kekuatan utama anak Anda. Dengan kemampuan ini anak Anda dapat berhitung cepat yang asyik sesuai saran Paman APIQ.
Persoalan mulai muncul ketika anak Anda menghadapi masalah yang menuntut keterampilan aljabar. Tidak masalah, sebenarnya anak Anda akan mampu menyelesaikan masalah aljabar dengan pendekatan aritmetika. Tetapi memang ada juga masalah aljabar yang harus diselesaikan dengan disiplin aljabar. Dalam hal ini aritmetika hanya sedikit membantu.
Tibalah saatnya kita mengenalkan aljabar kepada anak kita. Langkah ini lebih tepat. Aritmetika paham kemudian bergeser ke aljabar.
Berikut ini adalah latihan soal yang disukai Paman APIQ untuk melatih aritmetika dan aljabar.
“Geo mempunyai 4 bilangan bulat berurut. Jika tiga bilangan pertama dijumlahkan hasilnya 120 lebih besar dari bilangan terbesar. Berapakah bilangan terkecil punya Geo?”
Bagi anak yang tidak paham aritmetika akan menyerah menghadapi soal di atas. Ketika mereka mengingat-ingat rumus, tampaknya tidak ada rumus aljabar yang cocok.
Tetapi jika anak kita paham aritmetika maka anak kita akan menggunakan coba-coba untuk menemukan solusi dari soal di atas. Memang banyak yang harus dihitung. Tetapi karena anak kita terampil berhitung maka tidak masalah. Akhirnya anak kita berhasil – meski pun dengan perjuangan berat.
Tibalah saatnya kita mengenalkan konsep aljabar untuk anak kita. Pendekatan aljabar lebih sistematis.
(a) + (a +1) + (a+2) = (a+3) + 120
3a + 3 = a + 123
2a = 120
a = 60 (Selesai).