Berhitung Cepat

Judul Asli: Manfaat Rumus Berhitung Cepat Matematika

Saya senang mengoleksi berbagai macam teknik berhitung cepat – aritmetika cepat. Beberapa rumus cepat ini saya peroleh dari guru-guru matematika saya. Sebagian yang lain saya peroleh dari membaca literatur. Bagian terpenting dari rumus cepat ini saya peroleh sendiri melalui ketekunan meneliti.
Sempoa (abacus) adalah salah satu teknik berhitung cepat yang sangat mengagumkan. Selesai soal dibacakan, selesai juga proses perhitungan. Kita tinggal membaca hasil perhitungan tersebut pada sempoa. Bila sudah mahir mental aritmetika, kita tinggal membaca jawaban tersebut pada mental imajinasi kita.
Kumon adalah pendekatan yang berbeda. Kumon merupakan pendekatan pembelajaran cepat matematika. Tetapi isi matematikanya sendiri mirip dengan konsep matematika yang kita kenal selama ini. Metode Kumon mengandalkan pada pengulangan dan kemahiran. Dengan cara ini, (anak-anak) kita menjadi lebih mudah belajar matematika.
Jarimatika menampilkan beberapa variasi menarik dari teknik sempoa. Jarimatika mengelaborasi 10 jari kita untuk menggantikan peran sempoa. Terdapat beberapa trik khusus yang menarik memanfaatkan jari-jari kita.
Sakamoto, saya kenal pada awalnya sebagai pendekatan geometri kepada berbagai konsep matematika. Dengan pendekatan geometri, matematika menjadi lebih tervisualisasikan. Bukankah satu gambar bermakna seribu kata?
APIQ saya dirikan untuk memanfaatkan berbagai keunggulan teknik berhitung cepat. Dari sempoa kami belajar betapa petingya alat peraga fisik. APIQ memfasilitasi siswa dengan berbagai macam mainan fisik matematika seperti Onde Milenium, Kartu Milenium, Super Marble, dan lain-lain. Tentu saja setelah asyik bermain secara fisik, anak-anak akan menyerap konsep matematikanya secara mental.
Dari Kumon kami belajar betapa pentingnya pendekatan bertahap dalam matematika. APIQ memfasilitasi siswa dengan pendekatan bertahap mulai dari anak mengenal angka (bilangan) sampai menguasai kalkulus. Program ini menjadi perkerjaan besar bagi kami di APIQ.
Jarimatika di luar dugaan kami. Kami telah mengajarkan konsep jarimatika sebelum kami mendengar tentang lembaga Jarimatika. Jarimatika memberi pelajaran pada kami bahwa yang sederhana dapat menjadi sesuatu yang sangat menarik. APIQ memperkaya diri dengan berbagai trik menggunakan jari.
Visualisasi geometri lebih kita tekankan lagi setelah mengenal Sakamoto. Tetapi APIQ melangkah lebih jauh dari sekedar visualisasi. APIQ mengembangkan mainan alat peraga khusus untuk berbagai konsep matematika penting. Untuk pecahan, APIQ mengembangkan mainan lingkaran milenium. Untuk luas, keliling, volume APIQ mengembangkan dadu milenium.
Kami mempercayai:
Gambar bermakna seribu kata
Peraga bermakna seribu gambar
Saya sempat agak ragu-ragu. Mengapa repot-repot belajar berhitung cepat? Bukankah sudah ada kalkulator? Bukankah sudah ada komputer?
Berhitung cepat bukan berarti tidak boleh menggunakan kalkulator. Pun bukan berarti tidak boleh memanfaatkan komputer. Orang yang ahli menggunakan kalkulator dan komputer juga tidak dilarang belajar berhitung cepat. Jadi, kita tidak perlu mempertentangkan berhitung cepat dengan mesin hitung cepat.
Banyak manfaat dari belajar berhitung cepat. Salah satu manfaat terpenting adalah menjadi lebih kreatif. Orang yang memiliki banyak koleksi teknik berhitung cepat akan selalu terbuka pada ide-ide kreatif baru. Tokoh-tokoh besar dunia banyak yang menggemari permainan berhitung cepat.
Gauss, tokoh besar matematika, terkenal sebagai orang yang mengatakan:
”Mathematic is queen of science. And queen of mathematic is arithmetic.”
“Matematika adalah ratu ilmu pengetahuan. Dan ratu matematika adalah aritmetika.”
Anda yang pernah mempelajari matematika perguruan tinggi pasti mengenal Gauss. Apalagi Anda yang belajar di teknik elektro atau fisika pasti banyak mempelajari teori Gauss. Khususnya ketika mempelajari teori medan.
Gauss terkenal sebagai kalkulator berjalan – mesin hitung berjalan. Ia dapat melakukan perhitungan cepat hanya dalam kepala. Tanpa alat bantu apa pun. Gauss mengejutkan orang-orang di sekitarnya, bahkan gurunya, ketika menyelesaikan sebuah perhitungan hanya beberapa detik. Sementara orang-orang pada umumnya membutuhkan waktu lebih dari setengah jam.
Richard Feynman adalah peraih nobel fisika yang menggemaskan. Feynman memiliki hobi terus memainkan angka-angka. Ia dikenal juga sebagai kalkulator berjalan. Bahkan ia bisa menghitung nila log 2 sampai ketelitian 7 digit di belakang koma hanya dalam beberapa detik. Ketika ditanya oleh orang-orang bagaimana cara melakukannya, Feynman menjawab, ”Saya telah menghafalnya semalam.” Itulah gaya Feynman.
Berikut ini contoh perhitungan yang disukai Feynman. Saya mengenal sebelumnya dari Trachtenberg. Dan saya sudah melakukan berbagai visualisasi dengan teknik perkalian bintang di APIQ.
54² = 2916
55² = 3025
56² = 3136
57² = … … …
58² = … … …
Cobalah mengisi titik-titik di atas degan menebaknya. Anda pasti bisa langsung menebaknya. Berhasil? Coba lagi yang ini:
59² = … … …
51² = 2601
52² = … … …
53² = … … …
Tentu kita dapat menghitungnya dengan cara seperti biasa. Kita juga dapat menyelesaikannya dengan kalkulator. Tetapi apa kreatifnya? Apa asyiknya? Ini lah cara asyiknya!
54² = 2916
29 kita peroleh dari 25 + 4
16 kita peroleh dari 4²
56² = 3136
31 kita peroleh dari 25 + 6
36 kita peroleh dari 6²
57² = 3249
32 kita peroleh dari 25 + 7
49 kita peroleh dari 7²
Bagi Anda yang akan menempuh UN, SPMB, dan UMPTN 2008, teknik berhitung cepat juga dapat membantu Anda. Anda juga dapat mengembangkan teknik berhitung cepat sendiri sesuai kebutuhan Anda. Tadinya saya akan menulis teknik berhitung cepat limit dengan teorema L’Hospital. Tapi saya khawatir akan menjadi terlalu panjang. Mohon doanya agar saya dapat menulis teorema L’Hospital pada kesempatan berikutnya.
Cobalah bermain-main dengan teknik berhitung cepat!
Rasakan asyiknya!
Jaga tetap open mind!

Rumus Cepat Pythagoras

Judul Asli: “Segitiga Pythagoras Makin Menakjubkan: Genap”
Beberapa hari lalu saya nonton tayangan “Flash of Genius”. Kisah nyata yang inspiratif.
Seorang profesor menyatakan bahwa Dr Kearns tidak menemukan hal baru apa pun. Karena resistor telah lama ditemukan sebelum Kearns. Capacitor, transistor, dan komponen lainnya telah lama ditemukan sebelum masa Kearns. Yang dilakukan Kearns hanyalah merangkainya dengan pola yang baru. Itu saja.
Perdebatan berlanjut… dan Kearns akhirnya menang. Penemuan terhebat, penemuan jenius dari Dr Kearns adalah penemuan pola baru dalam merangkai komponen yang ada tersebut.
Kearns memenangkan 10 juta dolar dan bertambah lagi sampai hampir 30 juta dolar.
Menemukan pola, mengenali pola, menciptakan pola adalah penemuan yang sangat penting.
Paman APIQ berulang-ulang menekankan cara paling mudah menjadi kreatif adalah dengan mengenali pola.
Beberapa waktu lalu, Paman APIQ telah berbagi pengenalan pola segitiga Pythagoras ganjil. Kali ini Paman APIQ mengajak kita berpetualang mengenali pola segitiga Pythagoras genap.
Tentu kita masih ingat, dalam segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras:
a^2 + b^2 = c^2
a = 4, b = 3, c = … = 5
a = 6, b = 8, c = … = 10
a = 8, b = 15, c =… = 17
Dapatkan Anda menemukan polanya?
Pola a mungkin tampak dengan jelas.
Bagaimana menemukan pola hubungan b dan c?
Mari kita coba lagi…
a = 10, b = 24, c = …. = 26
a = 12, b = 35, c = …. = 37
a = 14, b = 48, c = ….
a = 16, b = 63, c = ….
Selamat berpetualang dengan pola-pola…

Dari Kerajaan Aritmetika Menuju Kerajaan Aljabar

Matematika memiliki 3 kerajaan yang berbeda: aritmetika, geometri, dan aljabar. Mencampuradukkan tiga kerajaan itu dapat berakibat rumit bagi pendidikan dan pembelajaran matematika.
Paman APIQ sendiri, dari awal, menekankan pentingnya penguasaan aritmetika bagi anak-anak sejak usia dini. Sayangnya sering terjadi ketika anak-anak berpetualang di kerajaan aritmetika mereka menemukan masalah-masalah dari kerajaan aljabar.
Demikian juga ketika anak-anak asyik bermain geometri mereka juga sering dihadapkan kepada persoalan aljabar. Masalahnya, para guru dan penyusun materi sendiri kadang-kadang tidak mudah membedakan mana masalah aljabar dan mana masalah aritmetika.
Karena itu Paman APIQ mengusulkan agar kita membuat jembatan yang menghubungkan kerajaan aritmetika dengan kerajaan aljabar. Begitu juga kita perlu membangun jembatan yang menyatukan geometri dan aljabar. Sedangkan jembatan antara kerajaan aritmetika dan kerajaan geometri telah lama terbangun dengan baik.
2 + 3 = ….
2a + 3a = ….
4 + 5 = ….
4b + 5b = ….
4.4 = ….
a.a = ….
5.5 = ….
b.b = ….
(3.2)(5.2) = …
3a.5a = …
Dan masih banyak bata dan semen yang kita perlukan untuk membangun jembatan yang indah antara kerajaan aljabar, geometri, dan aritmetika.

Jembatan Penghubung Kerajaan Aritmetika dan Kerajaan Aljabar adalah Bilangan Pecahan

Lagi-lagi Paman APIQ memperoleh banyak keuntungan dengan bermain bersama anak-anak seperti Al, Geo, Meti. Paman APIQ memang sengaja hendak membangun jembatan penghubung antara kerajaan aritmetika dan kerajaan aljabar. Membangun jembatan bukanlah tugas yang mudah. Tidak cukup hanya berasumsi saja. Paman APIQ harus praktik langsung di lapangan.
Paman APIQ telah menyiapkan beragam hipotesa untuk membangun jembatan Almeti (singkatan dari aljabar dan aritmetika) ini. Tetapi di luar dugaan, bahwa bahan utama untuk membangun jembatan Almeti adalah bilangan pecahan bukan bahan-bahan lain.
Memang anak-anak seperti Algeometi sudah terbiasa dengan matematika atau berhitung. Algeometi sudah akrab dengan berbagai macam bentuk aritmetika. Bahkan mereka telah terbiasa berpikir kreatif ketika berpetualang di bidang matematika.
Paman APIQ mencoba memunculkan tantangan-tantangan aljabar seperti ini,
x + y = 7
2x + y = 10
Tentukan x dan y.
Bagi Algeometi, yang masih usia anak-anak SD, ternyata tantangan di atas adalah tantangan mudah. Mereka menyelesaikannya dengan cara coba-coba berhitung aritmetika.
Tentu saja Paman APIQ bangga dengan anak-anak SD yang sudah mampu menyelesaikan persamaan aljabar dengan 2 variabel. Tetapi setelah semakin banyak berlatih Paman APIQ baru menyadari satu hal, ” Anak-anak menyelesaikan sistem persamaan aljabar dengan pendekatan aritmetika. Itu adalah baik. Bagaimana caranya agar anak-anak dapat menyelesaikan persamaan aljabar dengan pendekatan aljabar?”
Setiap Paman APIQ memberi tantangan berupa persamaan aljabar maka Algeometi menyelesaikannya dengan riang gembira secara aritmetika.
Akhirnya, Paman APIQ menemukan,
x + y = 8
x – y = 1
Tentukan x dan y.
Karena solusi dengan cara aritmetika banyak memerlukan waktu maka Algeometi meminta diajarin cara yang lain. Tibalah saat yang tepat bagi Paman APIQ mengenalkan metode aljabar: eliminasi dan substitusi. Paman APIQ banyak berterima kasih kepada bilangan pecahan yang telah bersedia menjadi jembatan Almeti.
Tantangan berikut bahkan lebih menarik lagi.
x + y = 4
x – y = 1
Berapakah
?

Berhitung Cepat dengan Aljabar dan Aritmetika Kreatif

Paman APIQ sering mengingatkan agar kita terbuka dengan berbagai macam sudut pandang. Ragam prespektif ini membantu kita untuk lebih kreatif. Misalnya ketika belajar aljabar kita harus terbuka dengan ide-ide geometri dan aritmetika. Begitu pula sebaliknya. Berikut ini adalah sebuah contoh masalah, yang menurut Paman APIQ, sering dipandang sebaga aljabar. Tetapi sudut pandang aritmetika akan memberi banyak kemudahan.
Al mengendarai mobil dari Bandung menuju Cirebon dengan kecepatan tetap 40 km/jam. Pulangnya, dari Cirebon ke Bandung, Geo mengendarai mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan pulang pergi di atas?
(Untuk sementara, di sini, kita menganggap kecepatan = laju semua dianggap besaran skalar seperti penggunaan sehari-hari).
Tebakan kita secara sekilas memberi jawaban kecepatan rata-rata = 50 km/jam. Apakah benar? Tetapi masuk akal juga.
Alternatif soal berikut menjadi lebih sederhana:
Al mengendarai mobil dengan kecepatan tetap 40 km/jam selama 22/7 jam. Kemudian dilanjutkan oleh Meti dengan kecepatan tetap 60 km/jam selama 22/7 jam. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan di atas?
Jawaban yang tepat kecepatan rata-rata = 50 km/jam.
[40(22/7) + 60(22/7)] : [2 (22/7)] = 50.
Agar lebih mudah kita dapat mengabaikan bilangan 22/7.
Mari kembali ke soal semula….
Al mengendarai mobil dari Bandung menuju Cirebon dengan kecepatan tetap 40 km/jam. Pulangnya, dari Cirebon ke Bandung, Geo mengendarai mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan pulang pergi di atas?
Jawaban:
Cara Aljabar:
Kita akan mengasumsikan jarak Bandung Cirebon = J
Waktu berangkat = B = J/40
Waktu pulang = P = J/60
Maka kecepatan rata-rata = total jarak / total waktu
= (J + J)/(J/40 + J/60)
Dengan ketelitian kita akan memperoleh hasil perhitungan di atas.
Cara Aritmetika:
Anggap saja jarak Bandung Cirebon = 120 km. Maka:
Waktu berangkat = B = 120/40 = 3
Waktu pulang = P = 120/60 = 2
Kecepatan rata-rata = total jarak/total waktu
= (120 + 120)/(3 + 2) = 48 km/jam. (Selesai).

Menjadikan Anak Jago Matematika dari Aritmetika, Geometri, dan Aljabar

Pendekatan Paman APIQ melalui permainan matematika yang mengasah kecerdasan aritmetika anak-anak semakin berhasil. Algeometi dan anak-anak lain menjadi jago matematika. Mereka menemukan cara-cara kreatif yang asyik untuk mempelajari matematika.
Bagaimana dengan Anda?
Tantangan masih berlanjut. Ketika anak-anak terbiasa berpikir secara aritmetika tidak secara otomatis mereka terbiasa berpikir secara aljabar. Untungnya, berpikir geometri tampak lebih alamiah bagi anak-anak. Menghitung luas, keliling, dan volume menjadi tantangan yang menggelitik bagi anak-anak. Sedangan untuk berlatih aljabar memang perlu proses lanjutan.
Paman APIQ mencoba memilihkan tantangan aljabar yang masih berhubungan dengan aritmetika dan geometri.
Contoh soal:
Di dalam segitiga siku-siku yang panjang sisi tegak dan datar berturut-turut 3 dan 4 dibuat lingkaran yang menyinggung tiga sisi segitiga dengan jari-jari r. Tentukan panjang r.
Jawab:
Dengan mengamati gambar geometri dan perbandingan ukuran, Algeometi menebak r = 1. Tebakan yang bagus!
Paman APIQ mencoba mengenal langkah-langkah aljabar. Dengan mengamati gambar geometri kita dapat melihat segitiga-segitiga kongruen dan berlaku,
(3 – r) + (4 – r) = 5
7 – 2r = 5
2 = 2r
r = 1 (Selesai).
Contoh soal:
Di dalam segitiga siku-siku yang panjang sisi tegak dan datar berturut-turut 10 dan 24 dibuat lingkaran yang menyinggung tiga sisi segitiga dengan jari-jari r. Tentukan panjang r.
Jawab:
(10 – r) + (24 – r) = 26
34 – 2r = 26
34 – 26 = 2r
r = 4 (Selesai).
Contoh soal:
Di dalam segitiga siku-siku yang panjang sisi tegak dan datar berturut-turut 7 dan 24 dibuat lingkaran yang menyinggung tiga sisi segitiga dengan jari-jari r. Tentukan panjang r.

Mencerdaskan dengan Aritmetika dan Aljabar Matematika

Aljabar memang luar biasa menjadikan matematika sangat hebat. Tetapi pengajaran aljabar justru sering menjadikan anak-anak bingung terhadap matematika. Masyarakat secara umum pun melihat matematika bukanlah aljabar. Masyarakat lebih melihat matematika sebagai aritmetika.
Paman APIQ menemukan cara yang asyik untuk mengajarkan aljabar mau pun aritmetika. Dengan cara asyik APIQ maka anak Anda akan jago aritmetika mau pun aljabar dengan cara yang menyenang. Cara ini didasarkan pada pemahaman intuitif siswa kita.
Pertama kenalkan ke anak kita konsep berhitung aritmetika. Pastikan anak kita memahami berhitung secara intuitif – masuk akal bagi anak kita. Setelah anak kita memahaminya maka kita boleh mengajarkan cara cepat untuk menghafal aritmetika dasar. Pemahaman adalah yang paling dasar. Cobalah…pasti anak Anda akan menjadi mahir matematika.
Paham dan cepat aritmetika sudah menjadi kekuatan utama anak Anda. Dengan kemampuan ini anak Anda dapat berhitung cepat yang asyik sesuai saran Paman APIQ.
Persoalan mulai muncul ketika anak Anda menghadapi masalah yang menuntut keterampilan aljabar. Tidak masalah, sebenarnya anak Anda akan mampu menyelesaikan masalah aljabar dengan pendekatan aritmetika. Tetapi memang ada juga masalah aljabar yang harus diselesaikan dengan disiplin aljabar. Dalam hal ini aritmetika hanya sedikit membantu.
Tibalah saatnya kita mengenalkan aljabar kepada anak kita. Langkah ini lebih tepat. Aritmetika paham kemudian bergeser ke aljabar.
Berikut ini adalah latihan soal yang disukai Paman APIQ untuk melatih aritmetika dan aljabar.
“Geo mempunyai 4 bilangan bulat berurut. Jika tiga bilangan pertama dijumlahkan hasilnya 120 lebih besar dari bilangan terbesar. Berapakah bilangan terkecil punya Geo?”
Bagi anak yang tidak paham aritmetika akan menyerah menghadapi soal di atas. Ketika mereka mengingat-ingat rumus, tampaknya tidak ada rumus aljabar yang cocok.
Tetapi jika anak kita paham aritmetika maka anak kita akan menggunakan coba-coba untuk menemukan solusi dari soal di atas. Memang banyak yang harus dihitung. Tetapi karena anak kita terampil berhitung maka tidak masalah. Akhirnya anak kita berhasil – meski pun dengan perjuangan berat.
Tibalah saatnya kita mengenalkan konsep aljabar untuk anak kita. Pendekatan aljabar lebih sistematis.
(a) + (a +1) + (a+2) = (a+3) + 120
3a + 3 = a + 123
2a = 120
a = 60 (Selesai).

Cara Berhitung Cepat Pembagian dan Perkalian

Entah karena semangat atau karena sedang marah, Paman APIQ berjalan dengan cepat sambil membawa tumpukan kertas. Tampaknya Paman sedang mencari-cari tiga bocah kecil Al, Geo, dan Meti.
“Lihat nih…!” dengan nada ketus Paman APIQ menyodorkan tumpukan kertas ke atas meja.
Al, Geo, Meti, diam saja. Mereka sedikit melirik tumpukan kertas itu. Terlihat beberapa tulisan tentang matematika.
1842 : 6 = …. = 37
3236 : 4 = …. = 89
5463 : 9 = …. = 67
6448 : 8 = …. = 86
4949 : 7 = …. = 77
“Hihihi….hiks….” Meti cekikikan.
Al dan Geo mau ikut cekikan tetapi takut karena tidak tahu pasti mengapa Meti bisa cekikikan begitu.
“Ada apa Meti !?” Paman APIQ bertanya dengan tegas.
“Lucu Paman…”
“Apanya yang lucu…!”
“Ya…itu…pekerjaan matematika itu!”
Al dan Geo buru-buru melihat pekerjaan matematika yang ada di tumpukan kertas itu….
1842 : 6 = …. = 37
3236 : 4 = …. = 89
5463 : 9 = …. = 67
6448 : 8 = …. = 86
4949 : 7 = …. = 77
“Oooo….Hihihi….hiks….” Geo ikut cekikikan.
Al makin penasaran saja. Meski tidak tahu pasti, Al ikut-kutan cekikan saja.
“O….o….hihihi….” Al cekikan dengan ragu-ragu.
Tiba-tiba Al tertawa dengan sekeras-kerasnya,
“Huahaha…hahaha…haha….!”
“Tenang….! Semuanya tenang dulu,” Paman APIQ melerai suasana.
“Soal matematika tadi bukan dikerjakan oleh anak SD. Tetapi dikerjakan oleh anak SMP dan SMA. Hasilnya? Ya… seperti itu.”
“Mungkin mereka terburu-buru, Paman,” Meti membela diri sebagai seorang siswa.
“Mungkin saja mereka terburu-buru. Tetapi tetap saja tidak boleh melakukan kesalahan semacam itu.”
“Aku bisa menebak mengapa mereka salah…!”
“Apa itu?” tanya Paman APIQ.
4949 : 7 = …. = 77
Sepertinya jawaban di atas benar. Apalagi sedang buru-buru. Karena dapat kita lihat bahwa 49 : 7 = 7,
maka 4949 : 7 = 77.
Tetapi jawaban kita ini salah.
Seperti yang telah Paman APIQ jelaskan tentang pembulatan, mari kita uji dengan pembulatan:
77 x 7 = ….?
bulatkan menjadi
77 x 10 = 770
770 terlalu jauh dengan 4949 kan?
Paman APIQ telah mengajarkan kita bahwa kita dapat menggunakan berbagai istilah dengan kreatif.
200 kita baca dua ratus
400 kita baca empat ratus
1000 kita baca sepuluh ratus
4900 kita baca empat puluh sembilan ratus
dan seterusnya…
4949 kita baca empat puluh sembilan ratus empat puluh sembilan.
Maka
4900 : 7 = 700
49 : 7 = 7
Jadi
4949 : 7 = 707.
Contoh:
5463 : 9 = …
54 ratus : 9 = …
63 : 9 = …
5463 : 9 = …. = 607
Contoh:
4249 : 7 = … = 607
2436 : 4 = ….
3515 : 5 = ….
6432 : 8 = ….
(Jawab: 804, 703, 609)
Akan lebih menarik juga bila bermain dengan perkalian di atas.
Contoh:
705 x 4 = … = 2820
7 ratus x 4 = 28 ratus
5 x 4 = 20
maka 705 x 4 = 2820
Contoh:
607 x 8 = …
409 x 4 = …
808 x 8 = …
(Jawab: 6464, 1636, 4856)

Cara Cepat Menghitung Pecahan Persen dan Diskon

Sekali lagi Paman APIQ memotivasi saya agar menulis cara cepat berhitung pecahan persen. Tadinya saya merasa ragu. Bukankah menghitung persentase adalah sesuatu yang sederhana?
Saya harus mengakui bahwa Paman APIQ lebih banyak benar dalam menasehati saya. Akhirnya saya berkesempatan langsung menyaksikan kebenaran nasehat Paman APIQ.
“Wah…kalau begini caranya ya sangat mudah dong menghitung persen!?” kata Pak Yus kagum.
“Apa maksudnya Pak?” Meti malah balik tanya.
“Ini, buku punyamu ini, cara menghitung persennya sangat mudah!”
Meti melihat buku yang dimaksud itu. Buku tersebut adalah buku tulisan saya yang sudah saya tulis lebih dari lima tahun lampau. Saya heran sekaligus senang karena tulisan saya yang sudah bertahun-tahun itu ternyata bermanfaat.
Dalam buku tersebut saya membahas beberapa teknik berhitung cepat persentase.
Contoh:
Tentukan 25% dari
a. 8.000
b. 9.000
C. 24.000
Cara yang sering kita pelajari untuk menghitung persen adalah:
1. Mengubah 25% menjadi 25/100
2. Mengalikan 25/100 dengan yang kita inginkan.
a. 25% dari 8.000 =
25/100 x 8.000 =
200.000/100 =
2.000 (selesai)
Masalahnya dengan cara di atas adalah kita jadi berurusan dengan bilangan atau angka yang sangat besar. Kadang anak-anak memikirkan angka yang besar saja sudah merinding.
Tips yang saya berikan dalam buku saya itu adalah menganggap 25% = 1/4. Sedangkan perkalian dengan 1/4 sama artinya dengan membagi dengan 4.
a. Tentukan 25% dari 8.000 =
8.000 : 4 = 2.000 (Selesai).
b. 25% dari 9.000 =
9.000 : 4 = 2.250 (Selesai).
c. 25% dari 24.000 =
Ya…tentu Anda tahu,
6.000 (Selesai).
Bagaimana dengan menghitung 50%?
Dengan pemikiran yang sama, 50% = 1/2.
Perkalian dengan 1/2 sama artinya dengan pembagian dengan 2.
Bagaimana dengan perhitungan harga diskon?
Tentu itu akan menjadi sebuah ide yang menarik.
Silakan mencobanya…!
O ya…judul buku saya yang di atas adalah APIQ: Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif.
Selamat bersenang-senang dengan matematika.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…

Rumus Cepat Matematika untuk Anak dan Remaja: Cara Menemukan dan Memanfaatkan Rumus Cepat

Rekan saya, yang doktor lulusan ITB, menyarankan agar saya membaca buku Polya tentang metode matematika. Tentu saya senang. Rekan saya itu gemar menemukan rumus-rumus cepat matematika untuk UN, SPMB, UMPTN, dan lain-lain. 
Buku Polya memberikan ilustrasi yang menarik tentang metode matematika. Sukses Polya tidak lepas dari pengalamannya mengajarkan matematika puluhan tahun termasuk di Stanford University. Saya tertarik dengan empat langkah yang disarankan Polya dalam memecahkan problem matematika. Empat langkah ini dapat kita gunakan untuk anak-anak mulai usia TK sampai remaja yang hendak menempuh UN, SPMB, UMPTN 2008. Semoga banyak membantu. 
Langkah pertama. Pemahaman masalah. Kita harus benar-benar memahami masalah yang kita hadapi. Apa yang ingin kita dapatkan? Apa saja yang tidak kita ketahui? Apa saja data yang tersedia? Kondisi-kondisi apa yang dipersyaratkan? 
Contoh soal:

1. Hitunglah 12 x 13 = …

 Sepertinya, masalah ini sudah jelas. Memang masalah ini sudah jelas bagi anak SMA yang akan SPMB dan UMPTN. Tetapi jika kita akan mengajarkan kepada anak usia TK atau awal SD, banyak hal yang harus kita pertimbangkan. Apakah anak kita sudah paham bahwa 12 adalah dua belas bukan 1 + 2? Apakah anak kita sudah paham maksud operasi perkalian? Apakah anak kita sudah berminat mempelajari masalah itu? 
Di APIQ, pertanyaan-pertanyaan ini menjadi keharusan sebelum melakukan pembelajaran. Kita perlu memahami materi matematika juga pelajar matematika kita. Saya yakin suksesnya kursus matematika Kumon dan Sempoa berkat pemahaman hal ini. (Mungkin Jarimatika dan Sakamoto juga). 
Langkah kedua. Susun rencana. Temukan hubungan antara masalah dengan data atau sebaliknya. Apakah Anda dapat menemukan hubungan yang jelas antara keduanya? Perhatikan data, perhatikan pertanyaan. Apakah Anda pernah menemukan masalah yang mirip sebelumnya? 
Bagi anak SMA, 12 x 13 = ….sudah sering ia lihat. Kita langsung dapat mengerjakan soal itu. Kalikan seperti biasa kita mengalikan. Adakah cara lain? Mengapa tidak mencoba menemukan alternatif?  
Bagi anak-anak kecil, apakah ia sudah mengenal perkalian bilangan 2 digit dengan 2 digit? Apakah ia sudah mengenal perkalian bilangan 2 digit dengan 1 digit? Dapatkah kita mengajarkannya secara bertahap? 
Langkah ketiga. Laksanakan rencana. Periksa tahap demi tahap. Apakah setiap tahapnya benar? Dapatkah Anda membuktikan kebenaran itu? Adakah tahap-tahap ini dapat dilihat dengan mudah? 
Bagi anak SMA, 12 x 13 =… biasa dihitung dengan menulis bersusun ke bawah:        
  12   
  13x    
  36  
120+  
156 
Apakah Anda yakin setiap langkah di atas adalah benar? Mengapa? 
Bagi anak TK atau awal SD, bergantung kemampuan siswa. Jika anak sudah mengenal perkalian 2 digit kali 2 digit dapat dikerjakan dengan cara di atas. Tetapi bila anak baru mengenal perkalian 2 digit kali satu digit, kita dapat berangkat dari sini. 
12 x 13 =…
12 x (10 + 3) =…
(12 x 10) + (12 x 3) =… 
Awas hati-hati! Jangan Anda suruh anak Anda melakukan perhitungan di atas! Perhitungan di atas hanya untuk kita, orang dewasa. Anak-anak cukup Anda minta untuk menghitung 
12 x 10 = … 
Yakinkan bahwa perkalian dengan 10 adalah mudah. Hanya menambahkan 0 di belakangnya. Jadi 12 ditambahkan angka 0 di belakangnya.12 x 10 = 120.
Cobalah, anak Anda akan menyukainya. 
Kemudian minta anak Anda menghitung 
12 x 3 = 36 
Mestinya anak Anda sudah dapat mengalikan 12 dengan 3. Jika belum, Anda dapat melatihnya sekarang. Di APIQ, kami memainkan Onde Milenium untuk mengajarkan konsep perkalian semacam ini. Anak-anak sangat menyukai Onde Milenium. 
Setelah itu minta anak menjumlahkan 120 + 36 = …. 
Kita peroleh 120 + 36 = 156.
Ini adalah jawaban akhir yang diinginkan. Lakukan latihan dengan beberapa angka yang berbeda. Tetap jaga suasana ceria dalam belajar. Setelah anak lancar dengan cara di atas, perkenalkan cara perkalian bersusun ke bawah seperti anak SMA. Anak-anak Anda akan menyukainya. 
Yang menarik dari metode Polya adalah masih ada langkah keempat. Meski pun kita sudah memperoleh solusi pada langkah ketiga. Menurut saya, yang terpeting adalah langkah keempat. Langkah keempat inilah yang menghasilkan banyak rumus-rumus cepat matematika untuk UN, SPMB, dan UMPTN. Langkah keempat juga sangat penting bagi pembelajaran anak-anak kecil. 
Langkah keempat. Perhatikan kembali seluruhnya. Bagaimana Anda dapat memperoleh jawaban tersebut? Apakah Anda dapat menguji jawaban tersebut? Dapatkah Anda menguji argumen? Dapatkah Anda memperoleh hasil dengan cara yang berbeda? Dapatkah Anda melihat hanya sekilas? Dapatkah Anda menggunakan cara atau hasil ini untuk masalah lain? 
Baik, untuk contoh 12 x 13 = … dapatkah kita mendapatkan solusi degan cara berbeda? 
Tambahkan 12 + 3 = 15 kemudian kalikan 2 x 3 = 6
Kita peroleh 156.  (Selesai) 
Contoh lain: 12 x 14 = …. Tambahkan 12 + 4 = 16 kemudian kalikan 2 x 4 = 8
Kita peroleh 168. (Selesai) 
Contoh lain: 11 x 15 = … Tambahkan 11 + 5 = 16 kemudian kalikan 1 x 5 = 5
Kita peroleh 165. (Selesai). 
Untuk anak-anak yang akan UN, SPMB, UMPTN 2008 ada sekedar contoh rumus cepat berikut. Gunakan pertanyaan: apakah Anda dapat menguji jawaban tersebut? Soal-soal UN, SPMB, dan UMPTN 2008 berupa pilihan ganda. Jadi kita bisa menguji jawaban-jawaban yang tersedia. 
Contoh soal:
 Persamaan garis yang sejajar dengan 3x – 4y + 5 = 0 dan melalui titik (2,1) adalah…

A. 3x + 4y – 10 = 0

B. 3x – 4y – 2 = 0

C. 4x + 3y – 11 = 0

D. 4x – 3y – 10 = 0

E. x + y – 2 = 0

 Dengan menguji jawaban saja, bahwa garis yang sejajar memiliki gradien yang sama, maka kita peroleh jawabannya adalah B. Selain pilihan B adalah salah. (Selesai). 
Agar lebih yakin, Anda dapat menguji dengan titik (2,1):3(2) – 4(1) – 2 = 0 adalah benar. 
Manfaatkan langkah keempat dari Polya. Niscaya Anda akan menemukan banyak rumus cepat matematika. Baik untuk keperluan UN, SPMB, UMPTN 2008 atau pun untuk putra-putri Anda yang masih kecil. Di APIQ, kami banyak memanfaatkan itu.    
Bagaimana pendapat Anda? 
Salam hangat…. (agus Nggermanto; pendiri APIQ) 
APIQ: Inovasi Pembelajaran Matematika. APIQ membuka program kursus matematika kreatif yang mengembangkan kecerdasan anak dengan cara fun, gembira, dan mengasyikkan serta lebih cepat. APIQ menumbuhkan motivasi belajar anak dengan pendekatan Quantum Learning, Quantum Quotient, dan Experiential Learning. Berbeda dengan pendekatan metode pendidikan atau pembelajaran matematika yang pada umumnya menempatkan aljabar sebagai fundamental, APIQ justru menempatkan aritmetika sebagai fundamental utama matematika. Pendekatan aritmetika menjadikan matematika lebih konkret tidak abstrak seperti aljabar. APIQ mempelajari matematika secara utuh dari aritmetika, aljabar, geometri, statistik, kalkulus, dan lain-lain. APIQ menyiapkan program untuk anak usia 4 tahun (TK), SD, SMP, SMA, sampai lulus SMA (preuniversity). APIQ membuka peluang bagi Anda yang berminat membuka cabang franchise.

Rumus Matematika Berhitung Cepat Perbandingan Skala

Permainan tebak-tebakan menjadikan belajar matematika lebih asyik. Paman APIQ juga membuat tebak-tebakan rumus matematika berhitung cepat perbandingan skala.
Anak-anak umumnya menghadapi tiga tahap kesulitan dalam menghitung perbandingan skala. Tetapi dengan cara tebak-tebakan intuitif dari Paman APIQ maka anak-anak kita akan dengan senang hati memahami konsep rumus cepat cepat perbandingan skala.
Berikut adalah tiga kesulitan utama yang sering dihadapi anak-anak.
Pertama, anak-anak sudah langsung kaget dengan besarnya bilangan yang dihitung. Misal skala 1 : 1.500.000. Bilangan 1.500.000 tersebut tidak begitu akrab bagi anak-anak.
Kedua, anak-anak harus menghitung konversi satuan. Biasanya satuan pada peta dalam cm sedangkan satuan pada jarak sebenarnya adalah km. Untungnya Paman APIQ sudah mengembangkan tabel konversi milenium yang memudahkan anak-anak.
Ketiga, anak-anak bingung untuk menghitung. Ia harus memakai rumus yang mana? Jika ia sudah memilih rumus yang tepat ternyata ia masih harus menghitung operasi bilangan yang ordenya jutaan.
Mari kita bantu anak-anak dengan permainan tebak-tebakan perbandingan skala dari Paman APIQ. Awalnya Paman APIQ memanfaatkan tebak-tebak ini bersama Algeometi. Tetapi karena hasilnya bagus untuk Algeometi maka mari kita coba untuk anak-anak kita.
Pertama Paman APIQ membuat peta pikiran (mind map) tentang konsep perbandingan skala. Peta pikiran ini membantu Algeometi memahami konsep dasar skala. Dari peta pikiran juga anak-anak secara mudah menelusuri konsep berpikir dari jarak pada peta menjadi jarak sebenarnya atau sebaliknya. Tentu saja peta pikiran begitu hebat. Karena peta pikiran memanfaatkan gambar-gambar yang bermakna 1000 kata (math pictorial).
Selanjutnya Paman APIQ membuat perbandingan skala yang lebih intuitif.
skala umum,
1 : 1.000.000
sama artinya dengan,
1 cm : 10 km.
Contoh soal:
Pada skala 1 : 1.000.000 tentuka jarak sebenarnya jika diketahui jarak pada peta:
a. 2 cm
b. 5 cm
c. 12 cm
Jawab:
Perhatikan perbandingan Paman APIQ,
1 cm : 10 km maka
a.
2 cm : 20 km
b.
5 cm : 50 km
c.
12 cm : 120 km
Selesai.
Contoh soal:
Pada perbandingan skala 1 : 1.500.000, jarak kota Al dan kota Geo sebenarnya 90 km maka jarak pada peta adalah … cm.
Jawab:
1 cm : 15 km
90 km ===> ? cm ===> 6 cm (Selesai).
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…

Cara Mudah Cepat Menghitung Luas Lingkaran, Sektor (Juring), dan Tembereng

Beberapa waktu lalu Paman APIQ telah mengulas cara mudah dan cepat menghitung luas lingkaran dan sektor. Paman APIQ membuktikan dan mengusulkan agar kita menghitung luas sektor atau lingkaran dengan rumus luas segitiga.
L = 1/2 a.t
Pada kesempatan ini Paman APIQ akan memperluas penerapan rumus di atas untuk menghitung luas tembereng. Gabungan tembereng dapat membentuk bangun lensa cembung. Al, Geo, Meti sering melihat bangun lensa cembung ini pada motif batik kebanggaan Indonesia.
Geo berpikir,
“Berapakah luas bangun cembung tersebut?”
“Kita pasti bisa menemukannya,” Meti yakin.
“Ya. Kita harus menemukannya. Batik kan warisan leluhur Indonesia,” Al bertambah nasionalis.
Banyak cara untuk menghitung luas bangun lensa cembung tersebut. Mari bermain imajinasi. Bila Anda menyediakan kertas dan pensil juga boleh.
Misal kita memiliki bangun persegi ABCD dengan sisi s = 14 cm. Titik A adalah pojok kiri bawah, B kanan bawah, C kanan atas, dan D kiri atas.
Dengan berpusat di B dibuatlah 1/4 lingkaran P yang berjari-jari s = 14 cm. Tentu lingkaran ini melalui A dan C.
Dengan berpusat di D dibuatlah 1/4 lingkaran Q yang berjari-jari s = 14 cm. Tentu lingkaran ini melalui A dan C.
Lingkaran P dan Q berpotongan di A dan C. Bangun yang dibatasi oleh dua busur AC ini yang membentuk bangun lensa cembung. Berapakah luas bangun lensa cembung tersebut?
Cara I: Hitung luas tembereng, luas lensa cembung = 2 x luas tembereng
Luas tembereng T = Luas sektor – luas segi tiga
T = 1/2 A.t – 1/2 a.t
= 1/2 (11/7 . 14)(14) – 1/2 (14)(14)
= 2/7 (14)(14)
Luas lensa cembung = L
L = 2 x T
= 2 x 2/7 (14)(14)
= 4.2.14
= 112 cm persegi (Selesai).
Cara II: Hitung luas sisa persegi
Pikirkan persegi dengan 1/4 lingkaran P. Maka luas sisa persegi adala S =
S = Luas persegi – Luas 1/4 lingkaran P
= 14.14 – 1/2. (11/7 .14)(14)
= 14.14 (1 – 11/14)
= 14.3
= 42
Dengan cara yang sama, kita juga dapat menghitung luas sisa persegi yang satunya lagi.
Luas bangun lensa cembung adalah L =
L = Luas persegi – 2xS
= 14.14 – 2.42
= 196 – 84
= 112 cm persegi (Selesai).
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…

Metode Belajar Matematika: Cara Menguasai Rumus Cepat Matematika

“Bagaimana cara belajar matematika yang benar?”
“Belajar matematika adalah belajar hidup. Matematika adalah jalan hidup.”
Trachtenberg mempertaruhkan jiwanya menentang Hitler. Trachtenberg, setelah menyelami prinsip-prinsip matematika, menyimpulkan bahwa prinsip kehidupan adalah keharmonisan. Peperangan yang terus berkobar, menyulut kebencian tidak sesuai dengan prinsip-prinsip matematika. Matematika adalah keindahan.
Atas penentangannya ini, Hitler menghadiahi Trachtenberg hukuman penjara. Bagi Trachtenberg, perjara bukan apa-apa. Di dalam penjara, dia justru memiliki kesempatan memikirkan matematika tanpa banyak gangguan. Karena sulit mendapatkan alat tulis-menulis, Trachtenberg mengembangkan pendekatan matematika yang berbasis mental-imajinasi.
Seribu tahun sebelum itu, AlKhawaritzmi mengembangkan disiplin matematika baru: aljabar. AlKharitzmi beruntung hidup dalam lingkungan agama Islam yang kuat. Ajaran Islam, secara inheren, menuntut keterampilan matematika tingkat tinggi. Misalnya, Islam menetapkan aturan pembagian waris yang detil. Pembagian waris sistem Islam melibatkan banyak variabel matematis. Variabel-variabel yang beragam ini menantang penganut Islam – termasuk AlKhawaritzmi – untuk mencari pemecahan yang elegan.
Pemecahan terhadap sistem persamaan yang melibatkan banyak variabel ini membawa ke arah disiplin baru matematika: aljabar. AlKhawaritzmi menulis buku khusus tentang aljabar yang sangat fenomenal. Buku yang berjudul Aljabar ini menjadi panutan bagi matematikawan seluruh dunia. Sehingga nama AlKhawaritzmi menjadi dikenal sebagai Aljabar AlKhawaritzmi (Algebra Algorithm).
Sistem kalender Islam yang berbasis pada komariah (bulan, lunar) memberikan tantangan tersendiri. Penetapan awal bulan menjadi krusial di dalam Islam. Berbeda dengan kalender syamsiah (matahari, solar). Dalam kalender syamsiah, kita tidak begitu sensitif apa berbedaan tanggal 1 Juni dengan 2 Juni. Tetapi pada sistem komariah, perbedaan 1 Ramadhan denga 2 Ramadhan berdampak besar.
Itulah sebabnya, astronomi Islam dapat maju lebih awal. Astronomi memicu lebih berkembangnya teori trigonometri. Aturan sinus, cosinus, dan kawan-kawan berkembang pesat di tangan para astronom Islam waktu itu.
Ajaran agama Islam adalah jalan hidup. Untuk bisa melaksanakan ajaran Islam diperlukan matematika. Matematika menjadi jalan hidup.
Sehebat itukah peran matematika?
Haruskah kita mengambil matematika sebagai jalan hidup?
Tidak selalu! Tidak semua orang perlu mengambil matematika sebagai jalan hidup. Tidak harus semua orang meniru AlKhawaritzmi dan Trachtenberg.
Beberapa orang belajar matematika hanya untuk kesenangan. Beberapa orang yang lain belajar karena kewajiban. Ada pula yang belajar matematika agar naik jabatan. Ada juga agar lulus UN, SPMB, UMPTN. Ada juga untuk menjadi juara.
Masing-masing tujuan, berimplikasi kepada cara belajar matematika yang berbeda. Misalnya bila Anda belajar matematika untuk kepentingan lulus UN, SPMB, UMPTN 2008 akan berbeda dengan belajar untuk memenangkan olimpiade matematika.
Matematika UN, SPMB, UMPTN 2008 hanya menerapkan soal pilihan ganda. Implikasinya Anda hanya dinilai dari jawaban akhir Anda. Proses Anda menemukan jawaban itu tidak penting. Jadi Anda harus memilih siasat yang cepat dan tepat.
Gunakan berbagai macam rumus cepat dalam matematika. Rumus cepat ampuh Anda gunakan untuk UN, SPMB, UMPTN. Tetapi rumus cepat matematika tidak akan berguna untuk olimpiade atau kuliah kalkulus kelak di perguruan tinggi. Anda harus sadar itu.
Contoh rumus cepat matematika yang sering (hampir selalu) berguna ketika UN, SPMB, UMPTN adalah rumus tentang deret aritmetika.
Contoh soal:
Jumlah n suku pertama dari suatu deret adalah Sn = 3n^2 + n. Maka suku ke-11 dari deret tersebut adalah…
Tentu ada banyak cara untuk menyelesaikan soal ini.
Cara pertama, tentukan dulu rumus Un kemudian hitung U11. Cara ini cukup panjang. Tetapi bagus Anda coba untuk meningkatkan keterampilan dan pemahaman konsep deret. Rumus Un dapat kita peroleh dari selisih Sn – S(n-1) .
Cara kedua, sedikit lebih cerdik dari cara pertama. Kita tidak perlu menentukan rumus Un. Karena kita memang tidak ditanya rumus tersebut. Kita langsung menghitung U11 dengan cara menghitung selisih
S11 – S10 = U11
[3(11^2) + 11] – [3(10^2) + 10]
= 3.121 – 3.100 + 11 – 10
= 3.21 + 1
= 64
Cara ketiga, adalah rumus matematika paling cepat dari kedua rumus di atas. Tetapi sebelum menerapkan cara ketiga, kita harus memahami konsepnya terlebih dahulu dengan baik.
Are you ready?
Bentuk baku dari n suku pertama deret aritmetika adalah
Sn = (b/2)n^2 + k.n
Un = b(n-1) + a
a = S1 = U1
Anda harus pahami konsep di atas dengan baik. Cobalah untuk beberapa soal yang berbeda-beda. Tanpa pemahaman konsep yang baik, rumus cepat ini akan berubah menjadi rumus berat.
Dengan hanya melihat soal (tanpa menghitung di kertas) bahwa
Sn = 3n^2 + n
Kita peroleh
b = 6 (dari 3 x 2)
a = 4 (dari S1 = 3 + 1)
U11 = 6.10 + 4 = 64 (Selesai)
Semua perhitungan di atas dapat kita lakukan tanpa menggunakan alat tulis. Semua kita lakukan hanya dalam imajinasi kita. Ulangi beberapa kali. Anda pasti akan menguasainya dengan baik.
Trik untuk menguasai rumus cepat matematika adalah kuasai pula rumus standarnya – rumus biasanya. Dengan menguasai dua cara ini Anda akan semakin terampil menggunakan rumus cepat matematika.
Bagaimana pendapat Anda?
Salam hangat….Selamat berjuang Kawan!
(agus Nggermanto; pendiri APIQ)
*ingin lebih kreatif? silakan kunjungi tulisan saya yang lain.
APIQ: Inovasi Pembelajaran Matematika. APIQ membuka program kursus matematika kreatif yang mengembangkan kecerdasan anak dengan cara fun, gembira, dan mengasyikkan serta lebih cepat. APIQ menumbuhkan motivasi belajar anak dengan pendekatan Quantum Learning, Quantum Quotient, dan Experiential Learning. Berbeda dengan pendekatan metode pendidikan atau pembelajaran matematika yang pada umumnya menempatkan aljabar sebagai fundamental, APIQ justru menempatkan aritmetika sebagai fundamental utama matematika. Pendekatan aritmetika menjadikan matematika lebih konkret tidak abstrak seperti aljabar. APIQ mempelajari matematika secara utuh dari aritmetika, aljabar, geometri, statistik, kalkulus, dan lain-lain. APIQ menyiapkan program untuk anak usia 4 tahun (TK), SD, SMP, SMA, sampai lulus SMA (preuniversity). APIQ membuka peluang bagi Anda yang berminat membuka cabang franchise. Anda dapat menghubungi APIQ di apiq.wordpress.com atau (022) 2008621 atau 0818 22 0898 atau quantumyes@yahoo.com . APIQ berasal dari kata Aritmetika Plus Inteligensi Quantum